8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год


Задача №1.  Внутри стороны $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $D$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из $D$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $H_1$ и $H_2$ — ортоцентры треугольников $MNC$ и $MND$ соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника $AH_1BH_2$ не зависит от положения точки $D$ на стороне $AB$.
комментарий/решение
Задача №2. Множество (единичных) клеток таблицы $n\times n$ назовём удобным , если в каждой строке и каждом столбце таблицы есть по крайней мере две клетки этого множества. При каждом $n\geq 5$ найдите наибольшее $m$, для которого найдётся удобное множество из $m$ клеток, которое перестает быть удобным при удалении любой из его клеток.
комментарий/решение
Задача №3. Многочлены $P$, $Q$, $R$ с вещественными коэффициентами таковы, что многочлен $P(Q(x))+P(R(x))$ — постоянный. Докажите, что хотя бы один из многочленов $P(x)$ и $Q(x)+R(x)$ является постоянным.
комментарий/решение
Задача №4. Существуют ли целые числа $m$, $n$ и функция $f\colon \Bbb R \to \Bbb R $, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям (здесь $ \Bbb R $ обозначает множество действительных чисел):
i) $f(f(x))=2f(x)-x-2$ для любого $x\in \Bbb R $;
ii) $m\leq n$ и $f(m)=n$?
комментарий/решение
Задача №5.  На диагоналях выпуклого четырехугольника $ABCD$ построены правильные треугольники $ACB'$ и $BDC'$, причем точки $B$ и $B'$ лежат по одну сторону от $AC$, а точки $C$ и $C'$ лежат по одну сторону от $BD$. Найдите $\angle BAD+\angle CDA$, если известно, что $B'C'=AB+CD$.
комментарий/решение
Задача №6.  Найдите все целочисленные решения уравнения: $2x^2 - y^{14}=1.$
комментарий/решение(1)
результаты