6-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2010 год


Задача №1.  Найдите все простые числа $p$, $q$ такие, что $p^3-q^7=p-q$.
комментарий/решение
Задача №2.  Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны. На сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=BM+DN$. Прямые $AM$ и $AN$ вторично пересекают описанную окружность четырехугольника $ABCD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника $APQ$ лежит на отрезке $MN$.
комментарий/решение
Задача №3.  Прямоугольник, образованный линиями клетчатой бумаги, разбивается на фигурки трех видов: равнобедренные прямоугольные треугольники с основанием в две клетки квадраты из одной клетки , и параллелограммы , ограниченные двумя сторонами и двумя диагоналями клеток (фигурки могут быть ориентированы произвольным образом). Докажите, что в любом разбиении количество фигурок третьего вида четно.
комментарий/решение
Задача №4. На доске выписаны натуральные числа от $1$ до $n$ ($n > 2$). Рассмотрим следующую операцию: стираются два произвольных числа, а вместо них на доску выписывается наименьший простой делитель их суммы. Операция проводится до тех пор, пока на доске не останется одно число. Найдите наименьшее возможное $n$, при котором оставшимся числом может быть число $97$.
комментарий/решение
Задача №5.  В каждой вершине правильного $n$-угольника расположено по одной фишке. За один ход можно поменять местами любые две соседние фишки. За какое наименьшее число ходов можно добиться такого расположения фишек, при котором каждая фишка сместится на $\left[n\over 2\right]$ позиций по часовой стрелке относительно своего начального расположения?
комментарий/решение
Задача №6. Все стороны треугольника $ABC$ различны. Пусть $O$, $I$, $H$ — соответственно центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что
a) $\angle OIH > 90^\circ$;
b) $\angle OIH > 135^\circ$.
комментарий/решение
результаты