3-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2007 год


Задача №1.  Имеется 111 монет. Требуется разложить эти монеты по клеткам квадратной доски $n\times n$ так, чтобы количества монет в любых двух соседних по стороне клетках отличались ровно на 1 (в клетках может быть по нескольку монет или не быть их вообще). При каком максимальном $n$ это возможно?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $\angle MBC=\angle MDC$, $\angle MBA=\angle MCD$. Докажите, что угол $\angle ADC$ равен одному из углов $\angle BMC$ или $\angle AMB$, если известно, что $\angle BAC=\angle DAC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$, для которых число $2^n+3^n$ делится на $n^2$.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Существует ли функция $f: \Bbb R \to \Bbb R $, где $ \Bbb R $ — множество действительных чисел, такая, что для любых действительных чисел $x$, $y$ выполняется равенство: $f(x+f(y))=f(x)+\sin y ?$
комментарий/решение
Задача №5.  Множество всех положительных действительных чисел разбито на 3 непустых попарно непересекающихся множества.
a) Докажите, что можно выбрать 3 числа, по одному из каждого множества, которые служат длинами сторон некоторого треугольника.
b) Всегда ли можно выбрать числа (по одному из каждого множества) так, чтобы они являлись длинами сторон прямоугольного треугольника?
комментарий/решение
Задача №6.  Про выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ известно, что диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке $M$. Кроме того, треугольники $ABM$, $BCM$, $CDM$, $DEM$, $EFM$ и $FAM$ — остроугольные, а центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольники $ABDE$, $BCEF$ и $CDFA$ имеют равные площади.
комментарий/решение
результаты