Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Запишите в каждую клетку таблицы $6\times 6$ целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом прямоугольнике $1\times 4$ и $4\times 1$ была четной, но чтобы сумма всех чисел была нечетной.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Точки $L$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $BC$, соответственно, прямоугольника $ABCD$ и $P$ — точка пересечения отрезков $CL$ и $AM$. Найдите угол $LDM$, если известно, что $\angle MPC =30^\circ $.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Что больше $79^{26}$ или $244^{21}$, и почему?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Существуют ли натуральные числа такие, что $(a+b)(b+c)(a+c)=4242$?
комментарий/решение
Задача №5.  На сторонах $AC$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD:DC=3:4$ и $BE:EC=2:3$. Найдите $\frac{AF\cdot BF}{FE\cdot FD}$, где $F$ — точка пересечения $AE$ и $BD$.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
комментарий/решение