Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс


Задача №1.  Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения $\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}},$ если $x, y, z$ могут принимать только значения 1, 2, 3, 4, 5 причем $x\neq y, y\neq z, z\neq x$.
комментарий/решение
Задача №2.  На доске написаны три числа: $4, ~7, ~13$. Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например: $(4, ~7, ~13) \rightarrow (4, ~1, ~13)$). Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение
Задача №3.  Доказать, что если $a+b+c\leq 3$ и $a \geq 0$, $b \geq 0$, $c\geq 0$, то $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{2}.$
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Найдите все функции, удовлетворяющие следующим условиям: $f(x)+\left(x+ \dfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,$ при $x\in \mathbb{R}.$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Сечение параллелепипеда плоскостью — пятиугольник, в котором отношение любых двух сторон равно или 1, или 2, или 1/2. Найдите углы этого пятиугольника.
комментарий/решение
Задача №6.  Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?
комментарий/решение
Задача №7.  Найти число решений в натуральных числах $\left [ \dfrac{x}{10}\right]=\left [ \dfrac{x}{11}\right]+1$.
комментарий/решение
Задача №8.  Доказать, что функция, удовлетворяющая уравнению $f(x+2)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ периодическая и найти её период.
комментарий/решение(1)
Задача №9.  В левом нижнем углу шахматной доски $7 \times 7$ стоит король. Он может ходить на одну клетку либо в право, либо вверх, либо по диагонали вправо вверх. Сколькими путями король может пройти в правый верхний угол доски, если его маршрут не должен содержать клетки, расположенные выше главной диагонали доски.
комментарий/решение
Задача №10.  Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$, а также основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на прямые $BC$, $BD$ и $CD$, лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)