Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, I тур регионального этапа


Задача №1.  Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых — целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет в мешке?

( О. Нечаева )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Взяли четыре натуральных числа. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Получились шесть чисел: $1, 2, 3, 4, 5, N$, где $N > 5$. Какое наименьшее значение может принимать число $N$? ( О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ такая, что $BD = AC$. Медиана $AM$ этого треугольника пересекает отрезок $BD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK = DC$. Докажите, что $AM+KM = AB$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)