Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 10 класс


Задача №1.  При каких натуральных $n$ число $2^n + 65$ является квадратом натурального числа?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На доске написаны три числа: $4, ~7, ~13$. Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например: $(4, ~7, ~13) \rightarrow (4, ~1, ~13)$). Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение
Задача №3.  Доказать неравенство $a^2 + b^2 + c^2 < 2(1 - abc)$, где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, периметр которого равен 2.
комментарий/решение(1)
Задача №4. Известно, что график функции $y=f(x)+2g(x)$ — прямая, проходящая через точки $A(-1,3)$ и $B(1,2)$, а график функции $3f(x)-g(x)$ — прямая,симметричная $AB$ относительно оси $OY$. Найдите функции $f$ и $g$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Доказать равенство $\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В последовательности $U_1,~ U_2, ~U_3, ~\ldots, ~U_1 = U_2 = 1$, а каждое число, начиная с третьего, есть сумма квадратов двух предыдущих. Делится ли $U_{2003}$ на 7?
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Может ли сумма 2003 последовательных натуральных чисел быть 2003-й степенью натурального числа?
комментарий/решение(1)
Задача №8.  В левом нижнем углу шахматной доски $5 \times 5$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски, если ему запрещается посещение центральной клетки?
комментарий/решение(1)
Задача №9.  Квадратная доска $6 \times 6$ заполнена костяшками домино $1 \times 2$. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.
комментарий/решение
Задача №10.  Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$ и основания перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на прямые $BC$, $BD$ и $CD$, лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)