Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Разложите на множители: а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$; б) $x^{2003} + x+ 1$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Обозначим через $p(n)$ произведение всех цифр натурального числа $n$. Вычислите $p(1000) + p(1001) + \ldots + p(2003)$.
комментарий/решение
Задача №3.  Куб $1 \times 1 \times 1$ полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  При каких натуральных $n$ число $2^n + 65$ является квадратом натурального числа?
комментарий/решение(3)
Задача №5.  У ломаной $ABCDE$ все вершины лежат на окружности. Углы $ABC$, $BCD$ и $CDE$ равны по $45^\circ $. Докажите, что $AB^2+CD^2=BC^2+DE^2$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В левом нижнем углу шахматной доски $6 \times 6$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Решить уравнение: $\left [\dfrac{6x+5}{8}\right]=\dfrac{15x-7}{5}$, где через $[a]$ обозначена целая часть действительного числа $a$.
комментарий/решение(2)
Задача №8.  Доказать неравенство: $\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\geq \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$ ($x, y>0$).
комментарий/решение(1)
Задача №9.  При каких значениях $a$, $b$, $c$ парабола $y = ax^2 + bx + c$ симметрична параболе $y = 5x^2 + 4x + 3$ относительно точки $P(2;1)$?
комментарий/решение(1)
Задача №10.  Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Доказать равенство $\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$.
комментарий/решение(1)