Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс


Задача №1.  Для положительных вещественных $x_1, x_2, \ldots , x_n$ докажите неравенство: $$\frac{1}{1+x_1} +\frac{ 1}{1+x_2} + \ldots+ \frac{1}{1+x_n} \leq \frac{n}{1+\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots+\frac{ 1}{x_n}}}.$$
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник, в котором $\angle BAD < 90^\circ$. На лучах $AB$ и $AD$ выбраны точки $K$ и $L$, соответственно, такие, что $KA=KD$, $LA=LB$. Пусть $N$ — середина отрезка $AC$. Докажите, что если $\angle BNC=\angle DNC$, то $\angle KNL =\angle BCD$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Имеется $n$ шаров, пронумерованных числами от 1 до $n$, и $2n-1$ урн, пронумерованных числами от 1 до $2n-1$. Для каждого $i$ шар c номером $i$ можно поместить только в урны с номерами от 1 до $2i-1$. Пусть $k$ — целое число от 1 до $n$. Сколькими способами можно выбрать $k$ шаров, $k$ урн и разложить эти шары по выбранным урнам, чтобы в каждой урне было ровно по одному шару?
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника $A_1A_2A_3$ площади $ S $. $\omega_1$ касается стороны $A_2A_3$ в точке $B_1$ (и продолжении сторон $A_1A_2$ и $A_1A_3$). Прямая $A_1B_1$ пересекает $\omega_1$ в точках $B_1$ и $C_1$. Пусть $S_1$ — площадь четырехугольника $A_1A_2C_1A_3$. Аналогично определим $S_2$ и $S_3$. Докажите, что $$ \frac{1}{S} \leq \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}. $$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Функция $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ удовлетворяет соотношению $f(xf(y))=yf(x)$ для любых вещественных $x,y$. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. $f(-z)=-f(z)$ для любого вещественного $z$).
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Последовательность ${a_n}$ определяется следующим образом: $a_1=4$, $a_2=17$ и для любого $k\geq 1$ справедливы соотношения: $$ a_{2k+1}=a_2+a_4+\ldots +a_{2k}+(k+1)(2^{2k+3}-1), $$ $$ a_{2k+2}=(2^{2k+2}+1) a_1+(2^{2k+3}+1)a_3+\ldots+(2^{3k+1}+1)a_{2k-1}+k. $$ Найдите наименьшее $m$, такое что $(a_1+a_2+\ldots+a_m)^{2012^{2012}}-1$ делится на $2^{2012^{2012}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение
результаты