Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс


Задача №1.  Найдите все пары $(a;b)$ целых чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих равенству $a^4 - 3a^2 + 4a - 3 = 7 \cdot 3^b.$
комментарий/решение
Задача №2. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_1$, а описанную окружность в точке $A_0$. Аналогично определяются точки $C_1$ и $C_0$. Прямые $A_0C_0$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $PI$ параллельна стороне $AC$, где $I$ — центр вписанной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке $N$. Хорды $BA$ и $BC$ внешней окружности касаются внутренней в точках $K$ и $M$ соответственно. Пусть $Q$ и $P$ — соответственно середины дуг $AB$ и $BC$, не содержащих точку $N$. Окружности, описанные около треугольников $BQK$ и $BPM$, пересекаются в точке $B_1\neq B$. Докажите, что $BPB_1Q$ — параллелограмм.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите все последовательности целых чисел $a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots,a_{2008}$, удовлетворяющих уравнению $\left( {2008 - a_1 } \right)^2 + \left( {a_1 - a_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {a_{2007} - a_{2008} } \right)^2 + a_{2008} ^2 = 2008.$
комментарий/решение
Задача №6. Какое максимальное число прямых на плоскости можно выбрать так, чтобы нашлось 8 точек таких, что на каждой из выбранных прямых было не менее трёх из этих точек?
комментарий/решение