Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


Задача №1.  Пусть $O$ — центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Пусть $M$ — середина $AC$, и $P$ — точка пересечения $MO$ и $BC$. Докажите, что $AB=BP$, если $\angle BAC=2\angle ACB$.
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите, что для любых действительных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{n}$ справедливо неравенство: $$ \frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n. $$
комментарий/решение
Задача №3.  Дана последовательность целых чисел $A=(a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2001})$ (возможно с равными членами). Обозначим через $m$ количество троек ($a_{i}$, $a_{j}$, $a_{k})$, где $1 \leq i < j < k \leq 2001$, таких что $a_{j}=a_{i}+$1 и $a_{k}=a_{j}+1$. Найдите максимально возможное значение $m$.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что существует множество $A$ состоящее из 2002 различных натуральных чисел, удовлетворяющее условию: для каждого $a\in A$ произведение всех чисел из $A$, кроме $a$, при делении на $a$ дает остаток 1.
комментарий/решение
Задача №5.  На плоскости дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания высот опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Касательные в точках $A_1$ и $B_1$, проведенные к окружности описанной около треугольника $CA_1B_1$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMB_1$, $BMA_1$ и $CA_1B_1$имеют общую точку.
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все многочлены $P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2)=P(x)P(x+1)$.
комментарий/решение
Задача №7.  Докажите, что при любых целых $n > m > 0$ число $2^n-1$ имеет простой делитель, не делящий $2^m-1$.
комментарий/решение
Задача №8.  В ряд выстроены $n$ кузнечиков. В любой момент разрешается одному кузнечику перепрыгнуть ровно через двух кузнечиков стоящих справа или слева от него. При каких $n$ кузнечики могут перестроиться в обратном порядке? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение