Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


Задача №1.  Дан квадрат $ABCD$ со стороной 1. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что периметр треугольника $MCN$ равен 2. Найдите расстояние от $A$ до $MN$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В окружность вписаны правильные 2001-угольник и 2002-угольник. Докажите, что найдутся две вершины этих многоугольников, образующие дугу величиной не более $\dfrac{\pi}{4006002}$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $p$, $q$ — натуральные числа такие, что $1\leq q\leq p$ и $a = {\left( {p + \sqrt {{p^2} + q} } \right)^2}$. Докажите, что $a$ — иррациональное число и $\{a\} > 0,\!75.$ Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x,$ например $\{3,\!43\}=0,\!43$.
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $n\geq 2$ — целое и $$ E={x_1}^2+{x_2}^2+\ldots+{x_n}^2-x_1x_2-x_2x_3- \ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1. $$ Найдите максимальное значение $E$ при $x_1$, $x_2, \dots, x_{n} \in [0,1]$ и определите когда достигается этот максимум.
комментарий/решение(3)
Задача №5. Два игрока играют с двумя кучами камней: в первой 2001, а во второй 2002 камня. За ход игроку разрешается взять с обеих куч по одному камню либо только с одной кучи один камень. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой игрок выиграет при правильной стратегии?
комментарий/решение(1)
Задача №6. В треугольнике $ABC$ $\angle B > 90^{\circ}$ и на стороне $AC$ для некоторой точки $H$ $AH=BH$ причем прямая $BH$ перпендикулярна $BC$. Обозначим через $D$ и $E$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Прямая, проведенная через $H$ и параллельная $AB$ пересекает $DE$ в точке $F$. Докажите, что $\angle BCF=\angle ACD.$
комментарий/решение(1)
Задача №7. Дана клетчатая доска $n\times n$, раскрашенная в шахматном порядке. На доске разрешается проводить следующую операцию: выбрать прямоугольник оба размера которого имеют одинаковую четность, но не равны одновременно 1, и поменять цвета всех клеток в этом прямоугольнике на противоположные. Найдите все значения $n$ при которых за конечное число операций доску можно сделать одноцветной.
комментарий/решение
Задача №8. Пусть $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$, $a+b+c$ — различные простые числа такие, что сумма двух чисел из {$a, b, c$} равна 800. Обозначим через $d$ разность между наибольшим и наименьшим этих семи чисел. Найдите максимально возможное значение $d$.
комментарий/решение(1)