Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс


Задача №1.  Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству $a^2+b^2+c^2=1$. Докажите неравенство $$ a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3. $$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Имеется $n$ городов и несколько самолетов. Каждый самолет летает только между двумя городами и между любыми двумя городами летает не более одного самолета. Найти минимальное количество самолетов так, чтобы при любой организации авиарейсов из каждого города можно попасть в любой другой не более чем с одной пересадкой.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть точка $O$ является центром окружности. Две равные хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $L$ таким образом, что $AL > LB $ и $ DL > LC $. Пусть $M$ и $N$ соответственно точки на отрезках $AL$ и $DL$ такие, что $\angle ALC = 2\angle MON$. Доказать, что хорда окружности, проходящая через точки $M$ и $N$ равна $AB$ и $CD$.
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для любого натурального $k$ найдется бесконечно много таких натуральных чисел $m$, что $m^3+1999$ делится на $3^k$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Прямоугольник $5\times n$ можно разбить на фигурки, которые получаются удалением какой-либо угловой клетки прямоугольника $2 \times 3$. Докажите, что $n$ четно.
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все функции $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ такие, что $$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ для всех целых $x$ и $y$. Здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.
комментарий/решение(2)
Задача №7. Дан треугольник $ABC$ и точка $M$ внутри него. Доказать, что $$ \min\{MA, MB, MC\}+MA+MB+MC < AB+BC+AC.$$
комментарий/решение
Задача №8. Пусть число $p$ является простым делителем числа $2^{2^k}+1$. Доказать, что $p-1$ делится на $2^{k+1}$.
комментарий/решение(1)