Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Задача №1.  Найдите все вещественные решения уравнения ${{(x+y)}^{2}}=(x+1)(y-1).$
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$. Пусть $M$ — середина катета $AB$. Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно $CM$, пересекает гипотенузу $BC$ в точке $P$. Докажите, что $\angle AMC = \angle BMP$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Вычислите значение выражения: $(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 1^\circ)(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 2^\circ)\dots (1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 44^\circ)$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  На каждой стороне прямоугольника со сторонами 3 и 4 выбрано по одной точке. Выбранные точки соединили таким образом, что получился выпуклый четырехугольник со сторонами $x$, $y$, $z$, $u$. Докажите, что $$ 25\leq x^2+ y^2+z^2+u^2 \leq 50. $$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество положительных целых чисел $n$, одновременно удовлетворяющих следующим условиям:
а) десятичная запись числа $n$ содержит не более 10 цифр;
б) $n$ не делится на 10.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что если рациональные числа $a$ и $b$ удовлетворяют соотношению $a^5 + b^5 = 2a^2b^2$, то число $1 - ab$ является квадратом рационального числа.
комментарий/решение(2)