Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


Задача №1.  В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная окружность. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают ${{\omega }}$ соответственно в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$, а прямая $B_1C_1$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $C_2$ и $B_2$, соответственно. Пусть ${{\omega }_{1}}$ — описанная окружность треугольника $I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, а прямые $IB_2$ и $IC_2$ пересекают $\omega_1$ в точках $M$ и $N$, соответственно. Докажите, что $B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M\cdot {{C}_{2}}N$. ( Шалгымбай Б. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть ${{a}_{1}},~{{a}_{2}},~\ldots,~{{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел $a_{1}^{2}+{{a}_{2}},$ $a_{2}^{2}+{{a}_{3}},$ $\ldots,$ $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}},$ $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что если $p,~q,~m,~n$ натуральные числа, причем $p$ и $q$ простые, то равенство $ \left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n} $ невозможно. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дано целое $n \geq 1$ и положительные действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Пусть $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Известно, что для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$ выполняется неравенство ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$. Докажите, что $2s > 3{{n}^{2}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ справедливы следующие соотношения: $AB=BC$, $AD=BD$ и $\angle ADB = 2 \angle BDC$. Известно, что $\angle ACD = 100^\circ$. Найдите $\angle ADC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Из доски $2^n \times 2^n$ ($n \geq 3$) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере $4^{3 \cdot 4^{n-3}}$ различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
результаты