Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


На доске записаны числа 1, 2, $\ldots$, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -2
2018-09-26 19:01:47.0 #

Если взять набор чисел $(2,2,2,2,2,2,2)$ которая меньше любого набора из $(1,2,3,4,5,6,7,8,9...,25)$ и оценить

$((2^3+2^3+2^3)^3+2^3+2^3)^3+2^3+2^3 > ((2^3+2^3+2^3)^3+2^3+2^3)^3 = (3^3 \cdot 2^9+2^4)^3 = (16(32 \cdot 27+1))^3 > 2013^3 $ значит последнее число будет больше $2013^3$ при любых чисел

пред. Правка 2   0
2018-10-02 09:55:33.0 #

Инвариант: остаток по модулю 6 суммы чисел.

Так как $1+2+\ldots+25 \equiv 1 \pmod{6}$, а $2013^3 \equiv 3 \pmod{6}$, то нельзя.

  2
2020-06-22 19:54:36.0 #

Рассмотрим по модулю 3. Для всех натуральных $a$ выполнено $$a^3-a=a*(a+1)*(a-1) \equiv 0 \pmod{3}$$ Значит $a^3+b^3+c^3 \equiv a+b+c \pmod {3} \Rightarrow $последнее число сравнимо с суммой изначальных чисел, т.е. $1+2+3+\dots+25 \equiv 1 \pmod {3}$, но $2013^3 \equiv 0 \pmod {3}$, следовательно, полседним числом не могло быть $2013^3$.