Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Внутри остроугольного треугольника $ABC$ взята точка $P$ так, что $\angle PAC=\angle PBC$. Пусть $L$ и $ N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны $BC$ и $AC$, соответственно, $D$ — середина $AB$. Докажите, что $DL=DN$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   -2
2016-02-01 22:19:33.0 #

Положим что это верно,$DL=DN$, $\angle CAP = \angle CBP = a$ , $ \angle PAB = y , \ \ \angle PBA =x$ .

Из теоремы косинусов , получим соотношение

$(AP \cdot cosa)^2-(BP \cdot cosa)^2 = 2 \cdot (AP \cdot cosa) \cdot AD*cos(a+y) -2 \cdot (BP \cdot cosa) \cdot AD \cdot cos(a+x)$

$((BP \cdot \dfrac{sinx}{siny}) \cdot cosa)^2-(BP \cdot cosa)^2 = 2 \cdot BP \cdot AD \cdot (\dfrac{sinx}{siny} \cdot cosa \cdot cos(a+y) -cosa \cdot cos(a+x))$

После преобразований , получим

$BP \cdot (\dfrac{sinx}{siny} \cdot cosa)^2-(cosa)^2) = 2 \cdot AD \cdot cos^2a \cdot \dfrac{sin(x-y)}{siny} $

$BP \cdot (sin^2(x) - sin^2y) = 2 \cdot AD \cdot siny \cdot sin(x-y)$

$\frac{sin(x+y)}{siny}=\frac{2AD}{BP} = \frac{AB}{BP}$

что верно , это из теореме синусов .

Значит $DL=DN$

  0
2019-01-11 20:14:12.0 #

$DL,DN$ медианы треугольников $ANB,ALB$ учитывая это и используя формулу медиан $m_{c}=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$ получаем что надо доказать $AN^2+BN^2=AL^2+BL^2$(1) из условия следует что $\angle APL = \angle BPN=x$ применяя теорему косинусов $(1)$ можно записать как $BL^2+AP^2+PL^2-2AP \cdot PL \cdot cosx = AN^2 + PN^2+PB^2-2 \cdot PN \cdot PB \cdot cosx$ по теореме Пифагора $AN^2+PN^2=AP^2, BL^2+PL^2=BP^2$ подставляя $AP \cdot PL = PN \cdot PB$ которое следует из подобия треугольников $APN,BPL$.