Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


В непрямоугольном треугольнике $ABC$ выполняется соотношение $$ {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C=[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C]. $$ Найдите величину наименьшего угла треугольника. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое, не превосходящее $x$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-06-04 01:35:17.0 #

Ответ :$45^\circ$

Решение : Легко видеть, что $1*2*3=[1]+[2]+[3] $ . Отсюда следует, что если найдутся такие углы $A, B, C $, что $A+B+C=180$[1] и $tg A=1;tg B=2;tg C=3$, то условие задачи выполняется и наименьший угол будет равен $arctg 1=45^\circ $. Построим треугольник

Имеем $ tg C=\dfrac {1+\dfrac{1}{2}}{1-1*\dfrac {1}{2}}=3$ . Отсюда следует верность утверждения [1] и правильность решения задачи