Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Вычислите значение выражения: $(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 1^\circ)(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 2^\circ)\dots (1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 44^\circ)$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
2016-02-23 23:45:25.0 #

Положим что произведение $cos 1^\circ \cdot cos2^\circ \cdot cos3^\circ \cdot ... \cdot cos44^\circ=X$ , получим

$(1+tg1^\circ)(1+tg2^\circ)...(1+tg44^\circ)=\dfrac{2^{44} \cdot (cos(\dfrac{\pi}{4}))^{44} \cdot X}{X}=2^{22}$

пред. Правка 2   2
2020-09-14 13:47:52.0 #

Основная идея - разбиение на пары:

\[(1+\tan(\alpha))(1+\tan(\frac{\pi}{4}- \alpha)) = (1+\tan(\alpha))(1+\frac{1-\tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)}) = 2\]

Используя вышеуказанное тождество, не трудно понять, что искомое значение равно $2^{22}.$

tan - одно из обозначений тангенса.