Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Найдите все вещественные решения уравнения ${{(x+y)}^{2}}=(x+1)(y-1).$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2016-05-06 12:07:24.0 #

b_Жауабы:_b $y=1, x=-1$

$x+1=a$ және $y-1=b$ деп алсақ $x+y=a+b$ болады, онда:

$(a+b)^2-ab=0$

$a^2+ab+b^2=0$, $a$ бойынша квадрат үшмүшенің дискриминантын тапсақ:

$D=a^2-4a^2=-3b^2$ теңдеудің нақты түбірі болуы үшін $D\ge 0$, онда $b=0$.

Демек $y=1, x=-1$

  0
2018-01-03 10:27:49.0 #

Еще одно решение:

$$(x+y)^2=(x+1)(y -1)

Раскроем скобки:

$$x^2+2xy+y^2=xy-x+y-1$$

Все перекинем:

$$x^2+xy+y^2+x+1-y=0$$

Это можно заменить на

$$x^2+x(y+1)+y^2-y+1=0$$

Делаем дискриминант:

$$D=(y+1)^2-4(y^2-y+1)$$

Раскроем скобки

$$D=y^2+2y+1-4y^2+4y-4$$

$$D=6y-3y^2-3$$

$$D=-3(y-1)^2$$

Заметим имеет решение только тогда когда D=0

Оно не может быть положительным

Значит

x=-1

y=1

  0
2018-06-30 17:37:13.0 #

При таком решении вы расмотрели y как константу