Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс


Пусть $a, b, c$ — неотрицательные действительные числа, для которых $$\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} + \frac{1}{{c^2 + 1}} = 2.$$ Докажите неравенство $ab + bc + ca \leq \frac{3}{2}$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   1
2019-03-11 05:39:01.0 #

$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}=2$ или выражение можно записать как $\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1} = 1 $ применяя неравенство Коши-Буняковского получаем $1 \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$ $(1)$ если $s=a^2+b^2+c^2$ и $ab+bc+ac=x$ тогда $(1)$ запишется как $\dfrac{s+2x}{s+3} \leq 1 $ откуда $2x \leq 3$ или $x \leq \dfrac{3}{2}$

  0
2019-03-10 17:59:51.0 #

Матов, кажется твое решений не правильно. Там если $\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+3}≤2$ , не выходит что $a^2+b^2+c^2≤3/2$, а выходит что $a^2+b^2+c^2\geq3/2$.

  0
2019-03-11 05:34:20.0 #

спасибо.