24-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Греция, 2020 год


Найдите все тройки действительных чисел $(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$$ ( Albania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   0
2020-11-09 10:20:14.0 #

$\textbf{Решение №1.}$ Возведем первое уравнение системы в квадрат и вычтем из него второе уравнение:

$$ (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)^2-\Big(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Big) \Longleftrightarrow ab+bc+ac=\frac{\underbrace{a+b+c}}{abc}\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow ab+bc+ac=\frac{\underbrace{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}{abc} \Longleftrightarrow ab+bc+ac=\frac{ab+bc+ca}{(abc)^2} \Longleftrightarrow (ab+bc+ac)\Big(1-\frac{1}{(abc)^2}\Big)=0$$

Таким образом, имеются три возможности:

$\textbf{Случай №1.}$ Пусть $ab+bc+ac=0$, тогда $a+b+c=a^2+b^2+c^2=0$. В этом случае система решений не имеет.

$\textbf{Случай №2.}$ Пусть $abc=1$, тогда $a+b+c=ab+bc+ac$. Преобразуем последнее равенство следующим образом

$$1-a-b-c+ab+bc+ca-abc=(1-a)(1-b)(1-c)=0 $$

Далее рассмотрим несколько подслучаев:

$\textbf{Подслучай №2.1.}$ Пусть все три скобки равны нулю, тогда $a=b=c=1$. Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти числа действительно удовлетворяют системе, то есть являются решением.

$\textbf{Подслучай №2.2.}$ Пусть из всех трех скобок только две равны нулю, то есть $x=y=1$ ,(где $x,y\in \left\{ a,b,c \right\}$), тогда $z=\pm1$ ,(где $z \in \left\{ \left\{ a,b,c \right\} \setminus \left\{x,y\right\} \right\}$).

$\textbf{Подслучай №2.3.}$ Пусть только одна скобка из всех трех скобок равна нулю, то есть $x=1$ ,(где $x\in \left\{ a,b,c \right\}$), тогда $z=k, y=-\frac{1}{k}$ ,(где $k\ne 0$ и $z,y \in \left\{ \left\{ a,b,c \right\} \setminus \left\{x\right\} \right\}$).

$\textbf{Случай №3.}$ Пусть $abc=-1$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} a+b+c=-ab-bc-ca \\ a^2+b^2+c^2=b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\end{cases}.$$

Учитывая условия $abc=-1$, эквивалентно преобразуем систему

$$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{c}-c(b+a) \\ a^2+b^2+c^2=b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (1+c)\Big(a+b+\frac{1-c}{c}\Big)=0 \\ a^2+b^2+c^2=b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} c=-1 \\ a^2b^2=1\end{cases} \Longleftrightarrow (a;b;c)=\Big(k;\frac{1}{k};-1\Big).$$

Поскольку все уравнения системы симметричны относительно $a,b,c$, то остальные перестановки тоже являются решениями ситемы.

$\textbf{Ответ.}$ $(a;b;c)=\Big(1;k;\frac{1}{k}\Big); \Big(k;1;\frac{1}{k}\Big);\Big(k;\frac{1}{k};1\Big);\Big(\frac{1}{k};k;1\Big);\Big(\frac{1}{k};1;k;\Big);\Big(1;\frac{1}{k};k;\Big);\Big(-1;k;\frac{1}{k}\Big); \Big(k;-1;\frac{1}{k}\Big);\Big(k;\frac{1}{k};-1\Big);\Big(\frac{1}{k};k;-1\Big);\Big(\frac{1}{k};-1;k;\Big);\Big(-1;\frac{1}{k};k;\Big); \quad \text{где} \quad k\ne0.$