XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год


Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$. Известно, что $a_n \leq n+2020$ и число $n^3 a_n - 1$ делится на $a_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что $a_n = n$ при всех натуральных $n$. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $b_n = a_n - n$ для всех $n$. Индукцией по $n$ легко показать, что $b_n \geq 0$ для любого $n$. Если $b_k > b_{k+1}$ для какого-то $k$, то \[a_k - k > a_{k+1} - k - 1 \implies a_k + 1 > a_{k+1} \implies a_k \geq a_{k+1}\] --- противоречие. Следовательно, последовательность $\{b_n\}$ неубывает. С другой стороны, она ограничена сверху: $b_n = a_n - n \leq 2020$. Следовательно, существует такое неотрицательное целое $k$ и натуральное $t$, что $b_n = k$ для всех $n \geq t$. Значит, для всех $n \geq t$ \[a_{n+1} \ | \ n^3 a_n - 1 \implies n + k + 1 \ | \ n^3 (n + k) - 1 \implies\] \[\implies n + k + 1 \ | \ n^3 (n + k) - 1 - (n + k + 1)(n^3 - n^2 + n(k+1) - (k+1)^2) = (k + 1)^3 - 1 \implies\] \[\implies n + k + 1 \ | \ (k + 1)^3 - 1.\] Но это возможно только если $k = 0$. Следовательно, $b_n = 0$ для всех достаточно больших $n$, а значит и для всех $n$, т. е. $a_n = n$ для всех $n$.