Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс


В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $BC.$ На отрезках $AC$ и $AB$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AE\cdot BE=AD\cdot CD.$ Докажите, что $ME=MD.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2020-01-14 04:38:35.0 #

Пусть $E’$ симметричная точка к $E$, тогда $E’C=BE$ ($BEE’C$) параллелограмм, тогда $E’CD, AED$ подобны (по прямому углу и соотношению из условия) откуда $EE’D$ прямоугольный $DM$ медиана, значит $EM=DM$.