Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год


Пусть $f(x)=x^3-3x[x]\{x\}$.
   а) Существует ли такое число $x_0$, что $f(x_0)=199,\!9$?
   б) Существует ли такое число $x_0$, что $f(x_0)=1,\!999$?
   Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$, а $\{x\}=x-[x]$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2019-11-29 21:45:35.0 #

Что означает {x} можете сказать пожалуйста

  -1
2019-11-29 22:27:28.0 #

Дробная часть числа $x$.

  0
2019-11-29 23:03:57.0 #

Что случилось с пользователями сайта? Где 'Matov', 'Juraliev Dastan' и другие топовые пользователи? У них сейчас рейтинг низкий. Они же предоставляют красивые решение задач бесплатно. То что дают им мотивацию эта рейтинг.

Если нашли ошибку, укажите. Не будьте хейтерами.

  0
2019-12-01 09:54:16.0 #

Согласен на 100%

  -1
2019-11-30 10:35:08.0 #

Пусть, $z = [x] \in \mathbb{Z}, 0 < i = \{x\}<1$. тогда

$$f(x) = (z+i)^3 - 3(z+i)zi = (z+i)((z+i)^2-3zi) = (z+i)(z^2-zi+i^2)=z^3+i^3.$$

Если, $\exists x \in \mathbb{R} \, | \, f(x) = z^3+i^3 = 199.9$, тогда $z^3=199$, для $z \in \mathbb{Z}$,противоречие.

А для пункта $b$, можно взять $z=1, 0< i = \sqrt[3]{0.999} <1$ или $x = 1+ \sqrt[3]{0.999} $$\square$.