Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-01-29 17:01:57.0 #

Ответ:$f(x)=x$

Решение:$R(1;0): f(f(0)+1)=0+f(1)$ откуда $$f(0)=0$$

$R(2;0): f(2f(0)+2)=0+f(2)$ откуда $$f(2)=2$$

$R(3;0): f(3f(0)+3)=0+f(3)$ откуда $$f(3)=3$$

$R(1;2): f(f(2)+1)=2+f(1)$ откуда $$f(1)=1$$

По индукции докажем,что $f(x)=x$

Шаг 1. $f(0)=0;f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3$

Шаг 2. Пусть$ f(k)=k$

Шаг 3. $R( x+1;0): f((x+1)f(0)+x+1)=0+f(x+1)$,

$f(x+1)=x+1$ . Это эквивалентно ответу