Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Докажите, что для любых вещественных положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $$ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}. $$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1 | проверено модератором
2016-10-04 03:50:04.0 #

$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=x$ и $\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}=y$ ,тогда неравенство запишется как $2(x^3+y^3)+4\geq (x+y)^3$ , если учесть что числа $a,b$ положительные и $xy=1$ , либо что тоже самое $(x+y)^3-6(x+y)+4 \geq 0 $ , $(t-2)(t^2-2t+2) \geq 0$ если $x+y=t$ откуда $t \geq 2$ , которое в свою очередь верно , так как из неравенства о средних $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}} \geq 2 \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}}=2$