Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год


Обозначим через $\mathbb{Z}^+$ множество всех натуральных чисел. Определите все функции $f : \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ такие, что $a^2 + f(a)f(b)$ делится на $f(a) + b$ для всех натуральных чисел $a$ и $b$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
2019-07-30 14:41:27.0 #

1) Подставим в условие $a=1$ и $b=1$, получим:

$$1+f(1)|1+f(1)^2$$

Отсюда $f(1)=1$. Теперь, подставим $b=f(a)$:

$$f(a)|2 \cdot f(a)|a^2+f(a) \cdot f(f(a))$$

Тогда $f(a)|a^2$ (1)

2) Подставляя $a=1$ и $b=a$, имеем:

$1+a|1+f(a)$ $\Rightarrow $ $a\leq f(a)$ (2)

3) Подставляя $b=1$, имеем:

$$f(a)+1|a^2+f(a)\ (*)$$

Но учитывая (1):

$$f(a)|a^2+f(a)\ (**)$$

Так как НОД$(f(a)+1, f(a))=1$, то из (*) и (**) получим:

$f(a) \cdot (f(a)+1)|a^2+f(a)$ $\Rightarrow $ $a^2\geq (f(a))^2$ (3)

Из (2) и (3): $a\geq f(a)\geq a$, откуда $f(a)=a$ для любого натурального a.

Сделав проверку, убеждаемся, что ответ удовлетворяет условию.

Ответ: $f(a)=a$