Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год


Найдите все пары целых чисел $(x,y)$ таких, что $x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
2019-05-15 22:48:24.0 #

Не красивая задача, 2010...

  -1
2019-11-27 11:48:26.0 #

Ответ (0, 335)

16x*2^x+3y+16x+3y*2^x=2010

2^x(16x+3y)+16x+3y=2010

(2^x+1)(16x+3y)=2010

так как 2^x+1 нечетное, 16x+3y четное, значит y четное. Рассмотрим все делители 2010 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005, 2010}, убедились что только 2^x+1=1 или 2^x+1=2.

Подставляем x=1, y не целое выходит. Подставляем x=0, y=335.