Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс


Найдите все тройки целых чисел $(a,b,c)$ и натуральное $k$ такие, что $a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca).$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2020-06-28 23:00:28.0 #

Лемма 1: Для $\forall N\in\mathbb N$ такое, что $N\equiv 2 \pmod 3$, $\exists p\in\mathbb P$ такое, что $p\mid N$,$p\equiv 2\pmod 3$, и $2\nmid v_p(N)$

Лемма 2:Если $p\mid a^2+ab+b^2$, где $a,b\in\mathbb Z$ , $p\in\mathbb P$ и $p\equiv 2\pmod 3$, то $p\mid a,b$

Решение: Заметим, что $$(a+b+c)^2=(3k+2)(ab+bc+ca)$$ из Леммы 1 $\exists p\in\mathbb P$, $p\equiv 2\pmod 3$, $p\mid 3k+2$ и $2\nmid v_p(3k+2)$, откуда $p\mid a+b+c$ , $p\mid ab+bc+ca$, откуда $$ab+bc+ca=ab+c(a+b)\equiv -a^2-ab-b^2\pmod p\implies p\mid a^2+ab+b^2$$

откуда из Леммы 2 получаем, что $p\mid a,b$ откуда $p\mid c$, но тогда $$a=pa_1, b=pb_1, c=pc_1$$

подставив в изначальное уравнение получаем, что $$ (a_1+b_1+c_1)^2=(3k+2)(a_1b_1+b_1c_1+c_1a_1)$$

Откуда $a=b=c=0$