Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год


Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. $O$ — центр его описанной окружности, как показано на рисунке. Точка $M$ — середина $BC$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $M$, пересекает продолжение отрезка $AB$ и отрезок $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что $DM=EC$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-09-01 21:05:43.0 #

Докажем что треугольники $CEM$ и $DBM$ равны, откуда и будет исходит равенство $DM=EC$.

$\angle AOM = 2\angle ACB + \angle BAC$ тогда $ \angle AEM = \angle ADM = 180^{\circ} - \angle AOM$ откуда $\angle EMC = 180^{\circ} -\angle AEM - \angle ACB = \angle BAC + \angle ACB $

То есть $\angle EMC = \angle DBM$ и так как $BM=CM$ то треугольники $CEM,DBM$ равны по стороне и трём углам .