Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год


Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2020-09-15 02:08:35.0 #

По неравенству $AM\ge GM$ $$(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y)\geq6\sqrt[6]{x^{3}y^{4}z^{3}}\cdot 15\sqrt[15]{x^{6}y^{12}z^{10}}\cdot 24\sqrt[24]{x^{16}y^{9}z^{21}}=720\cdot 3 x^{\frac{47}{30}}y^{\frac{221}{120}}z^{\frac{49}{24}}\geq 720\cdot 3xyz$$ $$\geq 720\cdot (xy+yz+zx).\quad\square$$