Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год


Радиустары 3, 4 және 5-ке тең үш шоғырлас (центрлері ортақ) шеңберлер берілген. Радиусы 5-ке тең шеңбердің өзара қиылысатын $AB$ және $CD$ хордалары, сәйкесінше радиустары 3 және 4-ке тең шеңберлерді жанайды. $AC$ және $BD$ түзулері тік бұрыш жасап қиылысатын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-05-10 22:05:37.0 #

Если имелось ввиду $\angle (BC,AD) = 90^{\circ}$.

Хорды $AB=2\sqrt{5^2-3^2}=8, \ CD=2\sqrt{5^2-4^2}=6$, $F \in BC \cap AD$.

По теореме косинусов $AB^2=2 \cdot 5^2(1-cos(2\angle ACB))$ откуда $sin(\angle ACB) = sin(\angle FCA)=\frac{4}{5}$ , аналогично $sin (\angle CAD) = sin(\angle CAF) = \frac{3}{5}$ откуда и следует что $\angle AFC = 90^{\circ}$.