Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год


Даны три концентрические окружности радиусов 3, 4 и 5. Пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ окружности радиуса 5 касаются окружностей радиусов 3 и 4 соответственно. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-05-10 22:05:37.0 #

Если имелось ввиду $\angle (BC,AD) = 90^{\circ}$.

Хорды $AB=2\sqrt{5^2-3^2}=8, \ CD=2\sqrt{5^2-4^2}=6$, $F \in BC \cap AD$.

По теореме косинусов $AB^2=2 \cdot 5^2(1-cos(2\angle ACB))$ откуда $sin(\angle ACB) = sin(\angle FCA)=\frac{4}{5}$ , аналогично $sin (\angle CAD) = sin(\angle CAF) = \frac{3}{5}$ откуда и следует что $\angle AFC = 90^{\circ}$.