Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год


В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности. На лучах $AI$ и $BI$ за точку $I$ соответственно взяты точки $A_1$ и $B_1$ такие, что $\angle ACA_1 = \angle BCB_1 = 90^\circ.$ Пусть $M$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что прямые $IM$ и $AB$ перпендикулярны.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-12-06 23:40:57.0 #

Пусть перпендикуляр к $AB$ пересекает $A_{1}B_{1}$ в середине $M$, тогда из треугольников $IMA_{1}, IMB_{1}$ получаем соотношения $\dfrac{IB_{1}}{IA_{1}} = \dfrac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}$ докажем это соотношение.

Так как $CI$ будет так же биссектрисой $B_{1}CA_{1}$ и $\angle B_{1}IC = \angle AID, \ \angle A_{1}IC = \angle BID$ тогда из треугольников $IB_{1}C, IA_{1}C$ получаем $\dfrac{IB_{1}}{IA_{1}} = \dfrac{B_{1}C}{A_{1}C} \ \dfrac{\cos \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \dfrac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}$

(последнее из-за того что $B_{1}C,A_{1}C$ перпендикуляры по условию).