Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год


Егер қандай да бір $a$, $b$ және $c$ бүтін сандары үшін $\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \dfrac{2c}{b+c}$ теңдігі орындалса, $bc$ көбейтіндісі бүтін санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2018-05-10 21:26:17.0 #

Преобразовав

$\dfrac{1}{1+(\frac{b}{a})^2} + \dfrac{1}{1+(\frac{a}{c})^2} = \dfrac{2}{1+\frac{b}{c}}$

$\frac{b}{a}=m, \ \frac{a}{c}=n, \ \frac{b}{c}=mn$

$\dfrac{1}{1+m^2}+\dfrac{1}{1+n^2} = \dfrac{2}{1+mn}$

$(2+m^2+n^2)(1+mn) = 2(1+m^2)(1+n^2)$

$(2+m^2+n^2)(1+mn)=(2+m^2+n^2)+(m+n)^2$

$(2+m^2+n^2)mn=(m+n)^2$

$(mn-1)(m^2+n^2)=0$

$m=\frac{1}{n}$

$bc = \frac{a^2m}{n} = \frac{a^2}{n^2} = (\frac{a}{n})^2 = c^2$