Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2018 год
Кез келген тақ $a,$ $b$ және $c$ сандары үшін $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ өрнегі 16-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Запишем числа а, б и с как 2к1 + 1, 2к2 + 1 и 2к3 + 1 соотвественно. Значит, данную формулу мы можем записать в виде 8(к1к2(к1-к2) + к2к3(к2 - к3) + к3к1(к3 - к1)). Следовательно, если скажем что все к1, к2, к3 четные или нечетные, то очевидно что все что внутри скобок четно и мы нашли ответ. Но что если, среди к1, к2, к3 есть чёрные и нечетные одновременно? Очевидно, что хотя бы, одно из произведений в скобках будет четным потому что мы знаем что одно из них четное. С этого следует, что все внутри скобок всегда чётно из чего понятно что данная формула делится на 16
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.