Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год


Последовательность $ \{a_n\}_{n}$ задана следующим образом: $ a_1=a_2=1$ и $ a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n$ для всех натуральных $ n$. Найдите $ a_{2004}$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2019-01-06 00:00:03.0 #

$$\Rightarrow a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=1$$

$$ y_n=a_{n+1}a_{n}, \quad y_{n+1}-y_n=1 \quad y_1=1$$

$$ y_n=y_1+(n-1)\cdot 1=n$$

$$a_2a_1=1, \quad a_3a_2=2 , \quad a_4a_3=3 , \quad a_5a_4=4..., a_{2003}a_{2002}=2002, \quad a_{2004}a_{2003}=2003$$

$$a_2a_3\cdot a_4a_5\cdot a_6a_7\cdot....\cdot a_{2002}a_{2003}=2\cdot 4\cdot 6 \cdot ... \cdot 2002$$

$$a_1a_2\cdot a_3a_4\cdot a_5a_6\cdot....\cdot a_{2003}a_{2004}=1\cdot 3\cdot 5 \cdot ... \cdot 2003$$

$$ a_{2004}=\frac{a_1a_2\cdot a_3a_4\cdot a_5a_6\cdot....\cdot a_{2003}a_{2004}}{a_2a_3\cdot a_4a_5\cdot a_6a_7\cdot....\cdot a_{2002}a_{2003}}=$$

$$=\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot ... \cdot 2003}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot ... \cdot 2002}$$