Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып


$\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ және $\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ теңсіздіктері орындалатындай нақты $a$ және $b$ сандары берілген. ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратораКомментарии от администратора №1.     Решение. Из условия легко следует, что $a,b\ge 0$. Рассмотрим 2 случая.
1) $a\ge b$. Предположим, что $a > 1$. Тогда $3{{a}^{2}}-2a=a\left( 3a-2 \right) > 1$, но с другой стороны $3{{a}^{2}}-1=\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b\le 2a$, что невозможно. Значит $0\le b\le a\le 1$, следовательно ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$.
2) $b\ge a$. Предположим, что $b > 1$. Тогда $3{{b}^{2}}-b=b\left( 3b-1 \right) > 2$, но с другой стороны $3{{b}^{2}}-2=\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a\le b$, что невозможно. Значит $0\le a\le b\le 1$, следовательно ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$.

пред. Правка 4   2 | Модератормен тексерілді
2017-03-22 20:29:48.0 #

Заметим, что $a \geq |3b^2 - 2| \geq 0$ и $2b \geq |3a^2 - 1| \geq 0$. А также $$a \geq |3b^2 - 2| \geq 3b^2 - 2$$ и $$2b \geq |3a^2 - 1| \geq 3a^2 - 1$$. Тогда получаем, что $$3a^2 - 1 = 3(a^2 + 1) - 4 \geq 3 \bullet 2a - 4 = 6a - 4 \geq 6 \bullet (3b^2 - 2) - 4 = 18b^2 - 16 = 18(b^2 + 1) - 34 \geq 18 \bullet 2b - 34 \geq$$

$$\geq 18(3a^2 - 1) - 34 = 54a^2 - 52 \Rightarrow 51 \geq 51a^2 \Rightarrow 1 \geq a^2 \Rightarrow 1 \geq a \Rightarrow 1 \geq a^4$$ и $$3b^2 - 2 = 3(b^2 + 1) - 5 \geq 3 \bullet 2b - 5 \geq 3 \bullet (3a^2 - 1) - 5 = 9a^2 - 8 = 9(a^2 + 1) - 17 \geq 9 \bullet 2a - 17 = 18a - 17 \geq$$

$$\geq 18(3b^2 - 1) - 35 = 54b^2 - 53 \Rightarrow 51 \geq 51b^2 \Rightarrow 1 \geq b^2 \Rightarrow 1 \geq b \Rightarrow 1 \geq b^3 \Rightarrow 2 \geq a^4 + b^3$$

  0
2017-11-04 20:42:11.0 #

$$|3a^2-1|\le 2b\le b^2+1 $$

$$\Rightarrow b^2+3\ge |3a^2-1|+2\ge |3a^2-1+2|=3a^2+1$$

$$\Rightarrow b^2+2\ge 3a^2 ....(1)$$

$$a^2+1\ge 2a\ge 2|3b^2-2|=|6b^2-4|$$

$$\Rightarrow a^2+3\ge |6b^2-4|+2\ge |6b^2-4+2|\ge 6b^2-2$$

$$\Rightarrow a^2+5\ge 6b^2......(2) $$

Из неравенств 1 и 2 легко вывести что $1\ge a^2$ и $1\ge b^2$...