Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып


Натурал санның квадратының бірлік цифрі 6 болса, онда осы квадраттың ондық цифрі тақ болатынын дәлелдеңіз, және кері тұжырымды дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3 | Модератормен тексерілді
2016-12-25 13:32:09.0 #

Число - четное и квадрат, значит делится на $4$. Число делится на $4$, если последние две цифры, образуют число, которое делится на $4$. Пусть предпоследняя цифра четная, тогда из последних двух цифр получим $\{06;\,26;\,46;\,66;\,86\}$, но ни одно из них не делится на $4$, значит предпоследняя цифра - нечетная.

пред. Правка 2   2
2017-11-13 15:40:31.0 #

Еще нужно обратное доказать!

б) пусть $r$ это последняя цифра числа $A$. Тогда $A=10k+r$, где $k$ нечетное. Тогда $k=2m+1$. Поэтому $A=20m+10+r$, следовательно число $10+r$ - это остаток числа А при делении на 20. Но квадраты натуральных чисел могут давать остатки: 0,1,4,5,9,16 (mod 20). Поэтому $10+r=16$ отсюда $r=6$.

  2
2016-12-25 18:27:17.0 #

Обратное чему? Признак делимости же.

  2
2016-12-26 15:19:37.0 #

То есть Теперь осталось доказать что если какойто квадрат имеет предпоследнюю цифру нечетную, то последняя цифра будет равна 6, то есть вам осталось рассмотреть случай когда квадрат нечетного числа.

  1
2016-12-26 23:50:10.0 #

Да, Вы правы, проглядел "тогда и только тогда". Спасибо за замечание.

пред. Правка 2   3
2016-12-27 13:43:32.0 #

b_Лемма:_b Число, образованное двумя последними цифрами числа, дает такой же остаток при делении на $4$, как и само число.

b_Доказательство:_b

$\square \quad \overline{a_n \ldots a_3a_2a_1} \equiv m \pmod{4}$

$100\overline{a_n \ldots a_3}+ \overline{a_2a_1}\equiv m \pmod{4}$

$\overline{a_2a_1}\equiv m \pmod{4}. \quad \blacksquare$

b_Лемма:_b Квадрат натурального числа при делении на $4$ дает в остатке $\{0;\,1\}$

b_Доказательство:_b

$\square \quad n \equiv \{0;\,1;\, 2;\, 3\} \pmod{4}$

$n^2 \equiv \{0^2;\,1^2;\, 2^2;\, 3^2\} \pmod{4}$

$n^2 \equiv \{0;\,1\} \pmod{4}. \quad \blacksquare$

b_Лемма:_b Квадрат натурального числа при делении на $10$ дает в остатке $\{0;\,1;\, 4;\, 5;\, 6;\, 9\}$

b_Доказательство:_b

$\square \quad n \equiv \{0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\, 6;\, 7;\, 8;\, 9\} \pmod{10}$

$n^2 \equiv \{0^2;\,1^2;\, 2^2;\, 3^2;\, 4^2;\, 5^2;\, 6^2;\, 7^2;\, 8^2;\, 9^2\} \pmod{10}$

$n^2 \equiv \{0;\,1;\, 4;\, 5;\, 6;\, 9\} \pmod{10}. \quad \blacksquare$

Пусть $n=\overline{a_2a_1}$ - число, образованное последними двумя цифрами числа. Так как цифра десятков нечетная, то $n = 4k+2+a_1$.

Если квадрат делится на 4, то $n \equiv 0 \pmod{4}$, откуда, с одной стороны, $a_1=\{2;\, 6\}$, с другой стороны $a \not = 2$, так как квадрат не может оканчиваться на $2$.

Если квадрат не делится на 4, то $n \equiv 1 \pmod{4}$, откуда, с одной стороны, $a_1=\{3;\, 7\}$, с другой стороны $a_1 \not =\{3;\, 7\}$, так как квадрат не может оканчиваться на $\{3;\, 7\}$.

Значит, последняя цифра квадрата $6$.

  1
2017-01-15 12:17:26.0 #

Понятно, спасибо за подробное доказательство