57-я Международная Математическая Oлимпиада
Гонконг, 2016 год


На плоскости расположено $n \geq 2$ отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он $n - 1$ раз хлопает в ладоши. При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперёд в следующую точку пересечения на её отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно.
(a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если $n$ нечётно.
(b) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если $n$ чётно.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: