Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс


На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ – точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ $.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
2018-11-04 18:19:48.0 #

Выберем на стороне $AC$ точку $X$ такую что $CX=MX$ из условия следует что $AM=BN$ и из того что $CM=2AM$ откуда $XM=AM$ значит $AX=AN$ тогда $MN$ высота и биссектриса равностороннего $\Delta ANX$ откуда $ANM=30^{\circ}$ из условия также следует что $\angle MPN = 120^{\circ}$ или $AMPN$ вписанный , откуда $\angle APM = \angle ANM = 30^{\circ} $ или $\angle APC = 90^{\circ}$

  0
2018-11-04 13:21:09.0 #

Как Вы нашли то что CN=AM*3под корнем