12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год


Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, пересекаются в точке $M$. Описанная окружность треугольника $ABM$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольники $NOMD$ и $KOMC$ имеют равные площади. ( Емил Стоянов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $\omega_1$ — описанная окружность четырёхугольника $ABCD$, а $\omega_2$ — описанная окружность треугольника $ABM$. Углы $CAD$ и $DBC$ опираются на одну дугу окружности $\omega_1$ и поэтому равны. Отсюда следует, что хорды $MN$ и $MK$, на которые эти углы опираются в $\omega_2$, также равны. Отрезки $OD$ и $OC$ равны как радиусы $\omega_1$ Пусть $t$ — касательная прямая к окружности $\omega_1$ в точке $D$. Угол между $t$ и $AD$ равен $\angle ABD$ (потому что оба равны половине дуги $AD$) и, следовательно, равен $MND$ (так как четырёхугольник $ABMN$ вписанный). Таким образом, отрезок $MN$ параллелен $t$, значит, перпендикулярен $OD$. Аналогично отрезок $MK$ перпендикулярен $OC$. Следовательно, площади четырёхугольников $NOMD$ и $KOMC$ равны, так как соответственные диагонали этих четырёхугольников равны и в обоих четырёхугольниках диагонали перпендикулярны.

  0
2018-11-30 18:58:01.0 #

Автор задачи: Емил Стоянов

пред. Правка 3   0
2018-11-30 19:13:27.0 #

sftp://estoyano@ftp.estoyanov.net:1022/home/estoyano/public_html/files/Matematika_012016_Sava%20Grozdev_Veselin%20Nenkov_2.pdf

  0
2018-12-01 11:08:02.0 #

Ссылка не открывается.

пред. Правка 2   0
2018-12-01 18:21:24.0 #

http://estoyanov.net/files/Matematika_012016_Sava%20Grozdev_Veselin%20Nenkov_2.pdf

  0
2018-12-04 01:38:59.0 #

Изменил. Спасибо!