52-я Международная Математическая Oлимпиада
Нидерланды, Амстердам, 2011 год


Пусть $S$ — конечное множество точек на плоскости, содержащее хотя бы две точки. Известно, что никакие три точки множества $S$ не лежат на одной прямой. Назовем мельницей следующий процесс. Вначале выбирается прямая $\ell $, па которой лежит ровно одна точка $P\in S$. Прямая $\ell $ вращается по часовой стрелке вокруг центра $P$ до тех пор, пока она впервые не пройдет через другую точку множества $S$. В этот момент эта точка, обозначим ее $Q$, становится новым центром, и прямая продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг точки $Q$ до тех пор, пока она снова не пройдет через точку множества $S$. Этот процесс продолжается бесконечно.
Докажите, что можно выбрать некоторую точку $P$ множества $S$ и некоторую прямую $\ell $, проходящую через $P$, так, что для мельницы, начинающейся с прямой $\ell $, каждая точка множества $S$ выступит в роли центра бесконечное число раз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2020-11-18 21:25:15.0 #