50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Треугольник $ABC$ таков, что $AB=AC$. Биссектрисы углов $CAB$ и $ABC$ пересекают стороны $BC$ и $CA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Обозначим через $K$ центр окружности, вписанной в треугольник $ADC$. Оказалось, что $\angle BEK=45{}^\circ $. Найдите все возможные значения угла $CAB$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
2017-01-02 15:07:47.0 #

Тут точно в "Обозначим через K центр окружности, вписанной в треугольник ABC" треугольник ABC ?

  2
2017-01-02 23:08:56.0 #

Спасибо! Там была опечатка. Исправили!

  1
2019-08-02 04:11:24.0 #

Пусть $\angle CAB = 2a$ и $I$ - точка пересечения биссектрис, тогда можно выразить все нужные углы, а именно из треугольника $IKD$ получаем $ID = \dfrac{IK \cdot \cos(\dfrac{a}{2})}{\sin45^{\circ}}$ из треугольника $IKE$ получаем $IE=\dfrac{IK \cdot \sin(45^{\circ}+a)}{\sin45^{\circ}}$ и из треугольника $AIE$ с учетом $IE$ получаем $AI = \dfrac{IE \cdot \sin(135^{\circ}-\dfrac{3a}{2})}{ \sin a}=\dfrac{IK \cdot \sqrt{2} \cdot \sin(a+45^{\circ}) \cdot \sin( \dfrac{3a}{2}+45^{\circ})}{ \sin a} $

Так как $CI$ биссектриса то $\dfrac{ID}{IA} = \dfrac{CD}{CA} = \sin a$ подставляя и преобразовывая $\cos \dfrac{a}{2} = \sin \dfrac{5a}{2}$ или $(2 \sin a -1) \cdot \sin(a-45^{\circ}) \cdot \sin(\dfrac{a}{2} + 45^{\circ}) = 0 $ откуда $a=30^{\circ}$ и $a=45^{\circ}$ то есть возможные значения $\angle CAB = 60^{\circ} , 90^{\circ}$ .