50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — внутренние точки отрезков $CA$ и $AB$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $BP$, $CQ$ и $PQ$ соответственно, а $\Gamma $ — окружность, проходящая через точки $K$, $L$ и $M$. Известно, что прямая $PQ$ касается окружности $\Gamma $. Докажите, что $OP=OQ$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2019-08-02 04:30:36.0 #

Из условия следует что $M$ - точка касания, тогда $DM \perp QP$ где $D$ - центр описанной окружности $KLM$, проведем до пересечения $QP$ с описанной окружностью , пусть она пересекает ее в точках $E,F$, так же отметим что $\angle KML = \angle PAQ $ (из -за параллельности) и $\angle MKL = \angle PML = \angle APQ$ то есть $MKL, APQ$ подобны значит $\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{MK}{ML}$ значит $AP \cdot ML=AQ \cdot MK$ домножим на $2$ и учитывая что $ML, MK$ средние линии $PQC, BPQ$ откуда $AP \cdot PC = AQ \cdot BQ$ но с другой стороны $AP \cdot PC = (EQ+PQ) \cdot PF$ и $ AQ \cdot BQ = EQ \cdot (PF + PQ)$ откуда $(EQ+PQ) \cdot PF = EQ \cdot (PF+PQ)$ значит $EQ = PF$ откуда следствии равенство треугольников $EQO, PFO$ получаем $OP=OQ$.