42-я Международная Математическая Oлимпиада
Соединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год


Докажите, что $\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
2016-10-25 19:30:56.0 #

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ac}}\geq 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+8\frac{abc}{t}}}\Rightarrow$$

Неравенство Иенсена: $$ f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3}) \geq 3$$

пред. Правка 2   0
2016-10-25 11:45:42.0 #

Из $9a^2+9b^2+9c^2\geqslant a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ac$ не следует $\left\{ \begin{array}{r} 9a^2\geqslant a^2+8bc,\\ 9b^2\geqslant b^2+8ac, \\ 9c^2\geqslant c^2+8ab.\end{array} \right.$

В этом можно убедиться, положив $a=3, \; b=2, \; c=1$.

пред. Правка 5   1
2020-09-15 20:52:00.0 #

По неравенству Гёлдера ${\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\bigg{(}a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)\bigg{)}\ge(a+b+c)^3}$

Заметим, что

$\small{(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3+b^3+c^3+24abc=}$

$\small{=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)},$ так как $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Откуда $$\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\ge 1$$

$$\iff$$ $$\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$$