41-я Международная Математическая Oлимпиада
Республика Корея, Тайджон, 2000 год


Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $abc=1$. Докажите, что $$\left( a-1+\dfrac{1}{b} \right)\left( b-1+\dfrac{1}{c} \right)\left( c-1+\dfrac{1}{a} \right)\le 1.$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2020-08-07 16:32:15.0 #

Можно произвести замену : $$ c=\dfrac x y ,a=\dfrac y z,b=\dfrac z x.\quad x,y,z\in\mathbb {R^+}$$

Тогда достаточно доказать, что $$(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)\le xyz$$

Б.О.О. пусть $x\ge y\ge z\implies x+y-z>0$ и $x-y+z>0.$

Если $-x+y+z\le 0$ $$\implies (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)\le 0<xyz$$

Если $-x+y+z>0,$ то заменим $$-x+y+z=A , \quad x-y+z=B\quad , x+y-z=C.$$

Тогда $A,B,C>0.$ Достаточно доказать, что $$(A+B)(B+C)(C+A)\ge 8ABC$$ $$ \iff$$ $$A\cdot (B-C)^2+B\cdot (C-A)^2+C\cdot (A-B)^2\ge 0.\quad\square $$