Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2012 год


В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(BC=AC)$ на биссектрисе $BN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=KC$ и $KN=NA$. Найдите углы треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
2016-02-28 01:42:16.0 #

К примеру через сумму площадей $\Delta BKC + \Delta KNC + \Delta ABN = \Delta ABC$. $\angle ABC=a$ , получим $S_{KNC}=CN^2 \cdot cosa \cdot sin(\dfrac{3a}{2})$,$S_{BKC}=(\dfrac{CN \cdot sin(\dfrac{3a}{2})}{sina})^2 \cdot sin(\dfrac{a}{2}) \cdot \dfrac{1}{2}$, $S_{ANB}= CN^2 \cdot sin(\dfrac{3a}{2}) \cdot (sin(\dfrac{3a}{2})+sin2a) \cdot ctga $.

После преобразований получаем в итоге $sin(\dfrac{3a}{2})=sin2a$ , $a=\dfrac{2\pi}{7}=\dfrac{360^\circ}{7}$.

Углы равны $\dfrac{360^\circ}{7},\dfrac{360^\circ}{7},\dfrac{540^\circ}{7}$