Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


Пусть $x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливо неравенство $x+y+z > \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Докажите, что $x+y+z > \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Покажем, что для неотрицательных чисел $a,b,c$ верно неравенство $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\geq \sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}$. Если возведем обе части неравенства в шестую степень и упростим, то получим эквивалентное неравенство $$3({{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{a}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{b}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{4}}{{c}^{2}})+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{b}^{3}}+2{{b}^{3}}{{c}^{3}}+2{{c}^{3}}{{a}^{3}}.$$ А это неравенство верно, так как из неравенств Коши \[{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{a}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{b}^{3}}; \quad {{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{b}^{2}}\geq 2{{b}^{3}}{{c}^{3}}; \quad {{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{4}}{{c}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{c}^{3}}\] уже получается неравенство $${a^4}{b^2} + {b^4}{a^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{b^2} + {c^4}{a^2} + {a^4}{c^2} \geq 2{a^3}{b^3} + 2{b^3}{c^3} + 2{c^3}{a^3}.$$ Тогда из доказанного выше следует, что $$x + y + z > \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \geq \sqrt[3]{{|x{|^3} + |y{|^3} + |z{|^3}}} \geq \sqrt[3]{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}.$$

  -6
2019-01-02 16:47:21.0 #

А что если a, b, c - отрицательные? Нам ведь не дано, что x, y, z неотрицательное

  -1
2019-11-08 11:37:19.0 #

Если это верно для неотрицательных чисел,то для отрицательных тоже верно.

  0
2019-11-14 19:04:56.0 #

Это же очевидно: $|$х$| \geq x$